Hukum De Morgan
Dua persamaan berikut dikenal dengan nama Hukum De Morgan:
Untuk membuktikan Persamaan (1-1) perlu di perhatikan, bahwa jikalau semua masukan 1, masing-masing ruas persamaan akan memberikan suatu hasil yang sama dengan 0. Di pihak lain, kalau satu (atau lebih dari satu) masukan sama dengan 0, maka masing-masing ruas persamaan akan memberikan suatu hasil yang sama dengan 1. Sehingga, untuk semua kemungkinan masukan dari ruas sebelah kanan persamaan sama dengan ruas sebelah kiri. Persamaan (1-2) dibuktikan dengan cara yang sama. Hukum De Morgan memperlengkap daftar identitas Boole dasar. Untuk masing-masing acuan selanjutnya, semua hubungan-hubungan tersebut di ringkas dalam tabel 1a.
Contoh penggunaan aljabar boole hukum-hukum De Morgan pada ekuivalensi rangkaian EXCLUSIVE OR adalah sebagai berikut:
Diketahui suatu fungsi logika boole EXCLUSIVE OR
dan ekuivalen dengan fungsi logika boole
, buktikan bahwa memang kedua persamaan tersebut ekuivalen. Maka dua persamaan tersebut dapat dibuktikan dengan penjabaran dengan pertolongan aljabar boole sebagai berikut:
Dari ketiga persamaan logika boole tersebut, menghasilkan Tabel kebenaran yang sama
Jadi jelas dua persamaan diatas memang ekuivalen.
Dari hukum De Morgan dapat disimpulkan, bahwa untuk mendapatkan komplemen (pelengkap) dari suatu fungsi boole adalah dengan mengubah semua operasi OR menjadi operasi AND, ataupun sebaliknya mengubah semua operasi AND menjadi operasi OR, dan melakukan penolakan masing-masing simbol binernya. Dan dengan pertolongan hukum De Morgan dapat kita tunjukkan bahwa suatu rangkaian AND untuk logika positif juga bekerja seperti halnya suatu gerbang OR untuk logika negatif. Misalkan Y adalah keluaran dan A, B, ... , N adalah masukan-masukan ke AND positif, sehingga
Kalau keluaran dan semua masukan dari rangkaian dikomplemenkan sedemikian hingga 1 menjadi 0 dan sebaliknya, maka logika positif berubah menjadi logika negatif. Karena Y dan
menggambarkan terminal keluaran yang sama, A dan menggambarkan terminal masukan yang sama, dan lain sebagainya. Rangkaian yang melaksanakan logika AND positif dalam persamaan (1-3) juga bekerja sebagai gerbang logika OR negatif pada persamaan (1-4). Alasan yang sama digunakan untuk membuktikan, bahwa rangkaian yang sama mungkin berlaku sebagai AND negatif atau OR positif, tergantung kepada bagaimana tingkat biner didefinisikan. Hal ini telah dibuktikan untuk logika dioda. Untuk lebih jelasnya berikut ditampilkan aplikasi teorema De Morgan dalam diagram blok fungsi logika boole pada gambar 1-1c. Suatu OR yang diubah ke AND dengan membalikkan semua masukan dan keluarannya, gambar 1-1d. Suatu AND menjadi OR, kalau semua masukan dan keluaran komplemen.
Sekarang jelas bahwa sebenarnya tidak perlu menggunakan semua gerbang logika, yakni cukup adanya OR dan NOT atau AND dan NOT saja, karena dari hukum De Morgan persamaan (1-1) AND dapat diperoleh dari OR dan NOT, seperti ditunjukkan dalam gambar 1-1c. Dan dengan cara yang sama, AND dan NOT dapat dipilih sebagai rangkaian gerbang logika dasar, dan dari hukum De Morgan persamaan (1-2), OR mungkin dapat dibangun seperti ditunjukkan dalam gambar 1-1d. Gambar ini akan menjelaskan lagi, bahwa OR (AND) dibalikkan pada masukan dan keluaran membentuk logika AND (OR)
Untuk membuktikan Persamaan (1-1) perlu di perhatikan, bahwa jikalau semua masukan 1, masing-masing ruas persamaan akan memberikan suatu hasil yang sama dengan 0. Di pihak lain, kalau satu (atau lebih dari satu) masukan sama dengan 0, maka masing-masing ruas persamaan akan memberikan suatu hasil yang sama dengan 1. Sehingga, untuk semua kemungkinan masukan dari ruas sebelah kanan persamaan sama dengan ruas sebelah kiri. Persamaan (1-2) dibuktikan dengan cara yang sama. Hukum De Morgan memperlengkap daftar identitas Boole dasar. Untuk masing-masing acuan selanjutnya, semua hubungan-hubungan tersebut di ringkas dalam tabel 1a.
Contoh penggunaan aljabar boole hukum-hukum De Morgan pada ekuivalensi rangkaian EXCLUSIVE OR adalah sebagai berikut:
Diketahui suatu fungsi logika boole EXCLUSIVE OR
dan ekuivalen dengan fungsi logika boole
, buktikan bahwa memang kedua persamaan tersebut ekuivalen. Maka dua persamaan tersebut dapat dibuktikan dengan penjabaran dengan pertolongan aljabar boole sebagai berikut:
Dari ketiga persamaan logika boole tersebut, menghasilkan Tabel kebenaran yang sama
Jadi jelas dua persamaan diatas memang ekuivalen.
Dari hukum De Morgan dapat disimpulkan, bahwa untuk mendapatkan komplemen (pelengkap) dari suatu fungsi boole adalah dengan mengubah semua operasi OR menjadi operasi AND, ataupun sebaliknya mengubah semua operasi AND menjadi operasi OR, dan melakukan penolakan masing-masing simbol binernya. Dan dengan pertolongan hukum De Morgan dapat kita tunjukkan bahwa suatu rangkaian AND untuk logika positif juga bekerja seperti halnya suatu gerbang OR untuk logika negatif. Misalkan Y adalah keluaran dan A, B, ... , N adalah masukan-masukan ke AND positif, sehingga
Kalau keluaran dan semua masukan dari rangkaian dikomplemenkan sedemikian hingga 1 menjadi 0 dan sebaliknya, maka logika positif berubah menjadi logika negatif. Karena Y dan
menggambarkan terminal keluaran yang sama, A dan menggambarkan terminal masukan yang sama, dan lain sebagainya. Rangkaian yang melaksanakan logika AND positif dalam persamaan (1-3) juga bekerja sebagai gerbang logika OR negatif pada persamaan (1-4). Alasan yang sama digunakan untuk membuktikan, bahwa rangkaian yang sama mungkin berlaku sebagai AND negatif atau OR positif, tergantung kepada bagaimana tingkat biner didefinisikan. Hal ini telah dibuktikan untuk logika dioda. Untuk lebih jelasnya berikut ditampilkan aplikasi teorema De Morgan dalam diagram blok fungsi logika boole pada gambar 1-1c. Suatu OR yang diubah ke AND dengan membalikkan semua masukan dan keluarannya, gambar 1-1d. Suatu AND menjadi OR, kalau semua masukan dan keluaran komplemen. 
Sekarang jelas bahwa sebenarnya tidak perlu menggunakan semua gerbang logika, yakni cukup adanya OR dan NOT atau AND dan NOT saja, karena dari hukum De Morgan persamaan (1-1) AND dapat diperoleh dari OR dan NOT, seperti ditunjukkan dalam gambar 1-1c. Dan dengan cara yang sama, AND dan NOT dapat dipilih sebagai rangkaian gerbang logika dasar, dan dari hukum De Morgan persamaan (1-2), OR mungkin dapat dibangun seperti ditunjukkan dalam gambar 1-1d. Gambar ini akan menjelaskan lagi, bahwa OR (AND) dibalikkan pada masukan dan keluaran membentuk logika AND (OR)
